Forum Zero - Türkiyenin En İyi Online Oyun Forumu

   


Go Back   Forum Zero - Türkiyenin En İyi Online Oyun Forumu > Eğitim Dünyası > Lise Ansiklopedisi > Matematik


Karmaşık (Kompleks) Sayılar

Matematik


Cevapla
 
LinkBack Seçenekler Arama Stil
Alt 14 Kasım 2013   #1
Ne Mutlu Türküm Diyene
GROZNIE - ait Kullanıcı Resmi (Avatar)
Üye Profil Bilgileri
Üyelik tarihi: 21 Nisan 2012
Alter: 31
Mesajlar: 3.862
Konular: 879
Rep Puanı: 235085
Rep Gücü: 3868
Rep Derecesi : GROZNIE has a reputation beyond reputeGROZNIE has a reputation beyond reputeGROZNIE has a reputation beyond reputeGROZNIE has a reputation beyond reputeGROZNIE has a reputation beyond reputeGROZNIE has a reputation beyond reputeGROZNIE has a reputation beyond reputeGROZNIE has a reputation beyond reputeGROZNIE has a reputation beyond reputeGROZNIE has a reputation beyond reputeGROZNIE has a reputation beyond repute
Aldığı Teşekkürler: 375
Ettiği Teşekkürler: 275
Standart Karmaşık (Kompleks) Sayılar

ax² + bx + c = 0 denkleminin Δ < 0 iken reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz. Örneğin x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü( x² + 1 = 0  x² = -1 ) karesi –1 olan reel sayı yoktur.
Şimdi bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız...

A. TANIM:
a ve b birer reel sayı ve i = -1 olmak üzere z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayına Karmaşık ( Kompleks ) Sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.
C = { z : z = a + bi ; a b  R ve -1 = i } dir.
( i = -1  i² = -1 dir.)
z = a + bi karmaşık sayısında a ya karmaşık sayının reel ( gerçel ) kısmı b ye karmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a İm(z) = b şeklinde gösterilir.

Örnek:
Z1 = 3 + 4i Z2 = 2 – 3i Z3 = 3 + i Z4 = 7 Z5 = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır.
Z1 karmaşık sayısının reel kısmı 3 imajiner kısmı 4 tür.
Z2 = 2 - 3i  Re(Z2) = 2 ve İm(Z2) = -3
Z3 = 3 + i  Re(Z3) = 3 ve İm(Z3) = 1
Z4 = 7  Re(Z4) = 7 ve İm(Z4) = 0
Z5 = 10i  Re(Z5) = 0 ve İm(Z5) = 10 dur.

Örnek:
x² - 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm:

Verilen denklemde a = 1 b = -2 c = 5 tir.
Δ = b² - 4ac = ( -2) ² - 4.1.5 = -16 = 16.i²
X12 = -b ± Δ = -(-2) ± 16i² = 2 ± 4i = 1 ± 2i dir.
2a 2.1 2
Ç = { 1 – 2i 1 + 2i } dir.







B. İ ‘NİN KUVVETLERİ

iº = 1 i¹ = i i² = -1 i³ = -i i4 = 1 i5 = i ...
Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1 i -1 - i değerlerinden birine eşit olmaktadır.

Buna göre n  N olmak üzere

i4n = 1
i4n + 1 = i
i4n + 2 = -1
i4n + 3 = -i dir.

Örnek:

( i14 + i15 + 1 ).( i99 + i100 – 1) işleminin sonucunu bulalım.

Çözüm:
i14 = (i4)3.i2 = 13.(-1) = -1
i15 = (i4)3.i3 = 13.(-i) = -i
i99 = (i4)24 .i 3 = 124.(-i) = -i
i100 = (i4)25 = 125 = 1 olduğu için

(i24 + i15 + 1).(i99 + i100 – 1) = (-1 – i + 1).(-i + 1 – 1) = (-i) (-i) = i2 = - 1 dir.

C. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ

Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı eşittir.

Z1 = a + bi } olsun. Z1 =Z2 ↔ (a = c ve b = d) dir.
Z2 = c + di }








Örnek:
Z1 = a + 3 + 2bi + 3i
Z 2 = 8 + (a + b)i
Z1 = Z2 olduğuna göre b değerini bulalım.

Çözüm:
Z1= (a + 3) + (2b + 3)i Z2 = 8 + (a + b)i ve Z1 = Z2 olduğundan
a + 3 = 8  a = 5
2b + 3 = a + b  2b + 3 = 5 + b  b = 2 dir.

Örnek:
Z1 = (a + b + 3) + (a – 2)i
Z2 = 0
Z1 = Z2 olduğuna göre a.b değerini bulalım.


Çözüm:
Z1 = Z2 olduğundan
a – 2 = 0  a =2
a + b + 3 = 0  2 + b + 3 = 0  b = -5 tir.
O halde a.b = 2.(-5) = -10 dur.

D. BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ


_
Z = a + bi karmaşık sayı ise Z = a – bi sayısına Z karmaşık sayısının eşleniği denir.

Örnek:
_
1) Z1 = 4 + 3i sayısının eşleniği Z1 = 4 - 3i
_
2) Z2 = 2 - 3i sayısının eşleniği Z2 = 2 + 3i
_
3) Z3 = -7i sayısının eşleniği Z3 = 7i
_
4) Z4 = 12 sayısının eşleniği Z4 = 12
_
5) Z5 = 3 - 2 sayısının eşleniği Z5 = 3 - 2 dir.

Örnek:
Z = a + bi olmak üzere
_
3 . Z – 1 = 2(4 – i)
olduğuna göre a + b toplamını bulalım.

Çözüm:
_
3 . Z – 1 = 2(4 – i)
3 . (a – bi) – 1 = 8 – 2i
3a – 1 – 3bi = 8 – 2i
olduğundan 3a –1 = 8 ve -3b = -2 dir.

3a – 1 = 8  3a = 9  a = 3 ve
-3b = -2  b = 2/3 tür.

O halde a + b = 3 + 2/3 = 11/3
Not:

__
1) Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir ( ( z) = z )
.
2) Reel katsayılı ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri Z = m + ni
_
karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan Z = m – ni sayısıdır.

E. KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM

1) Toplama - Çıkarma

Karmaşık sayılar toplanırken ( ya da çıkarılırken ) reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır ( ya da çıkarılır ).

Z1 = a + bi Z1 + Z2 = ( a + c ) + ( b + di )

Z2 = c + di Z1 – Z2 = ( a – c ) + ( b – di )


Örnek:

Z1 = 2 – 10i ve Z2 = 8 + 3i olduğuna göre

Z1 + Z2 = ( 2 – 10i) + ( 8 + 3i )
= ( 2 + 8 ) + ( -10 + 3 )i
= 10 – 7i

Z1 – Z2 = ( 2 – 10i ) – ( 8 + 3i)
= ( 2 – 8 ) + ( -10 – 3 )i
= -6 – 13i

2) Çarpma:

Karmaşık sayılarda çarpma işlemi i2 = -1 olduğu göz önüne alınarak reel sayılardakine benzer şekilde yapılır.

Z1 = a + bi ve Z2 = c + di olsun.


Z1 . Z2 = ( a + bi ).( c + di)


= a.c + a.di + bi.c + b.di2 ( i2 = -1 )

= ac – bd + ( ad + bc )i

Z1 . Z2 = ( ac – bd ) + ( ad + bc )i
_ _
Z1 . Z1 = ( a + bi).( a – bi )  Z1 . Z1 = a2 + b2 dir.

Örnek:
Z1 = 2 – i ve Z2 = 3 + 2i olsun.
a) Z1 . Z2
_
b) Z1 . Z1

c) (Z2)2 işlemlerini yapalım.
Çözüm:

a) Z1 . Z2 =( 2 – i ) .( 3 + 2i)


= 6 + 4i – 3i – 2i2
= 6 – 2.( -1 ) + ( 4 – 3)i
= 8 + i dir.

b) Z1 . Z1 = ( 2 – i ).( 2 + i )
= 22 – i2
= 4 – ( -1)
= 5 tir.

c) ( Z2 )2 = ( 3 + 2i )2
= 32 + 2.3.2i + (2i)2
= 9 + 12i – 4
= 5 + 12i dir.

Örnek:

( -1 – i )2 = ( 1 + i )2 = 12 + 2.1.i + i2 = 2i
( 1 – i )2 = ( -1 + i )2 = ( -1 )2 + 2.( -1 ).i + i2 = -2i
( 1 + i )10 =( ( 1 + i )2 )5 = ( 2i )5 = 25.i = 32.i
( 1 – i )20 = ( ( 1 – i )2 )10 = ( -2i )10 = 210.i2 = -210

3) Bölme:

Karmaşık sayılarda bölme işlemi paydanın eşleniği ile pay ve paydanın çarpılması ile sonuçlandırılır.
Z1 = a + bi ve Z2 = c + di olsun.

Z1 a + bi ( a + bi ).( c – di ) ( ac + bd ) + ( bc – ad )i
 =  =  = 
Z2 c + di ( c + di ).( c – di ) c2 + d2









Örnek:

Z1 = 4 – 3i ve Z2 = 1 – 2i olsun.

Z1 4 – 3i ( 4 – 3i ).( 1 + 2i ) 4 + 8i – 3i – 6i2 10 + 5i
 =  =  =  =  = 2 + i dir.
Z2 1 – 2i ( 1 – 2i ).( 1 + 2i ) 12 + 22 5








Not:

1) Z = a + bi sayısının toplama işlemine göre tersi -Z = -a – bi
çarpma işlemine göre tersi

1 1 a – bi
 =  =  dir.
Z a + bi a2 + b2

_ _
2) Z1 . Z2 Z1 . Z2
 = 
Z3 z3


Örnek:

3 – 4i karmaşık sayısının çarpma işlemine göre tersinin imajiner ( sanal ) kısmını bulalım.

Çözüm:

3 – 4i sayısının çarpma işlemine göre tersi

1 3 + 4i 3 + 4i 3 4 4
¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾¾ = ¾ + ¾ i olduğuna için imajiner kısmı ¾ tir.
3 – 4i 32 + 42 25 25 25 25




Örnek:

1 + 2i 1 – 2i
¾¾¾ + ¾¾¾ işleminin sonucunu bulalım.
1 – i 1 + i

Çözüm:

1 + 2i 1 – 2i ( 1 + 2i ).( 1 +i ) ( 1 – 2i ).( 1 – i )
¾¾¾ + ¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾ + ¾¾¾¾¾¾¾¾
1 – i 1 + i 12 + 12 12 + 12
( 1 + i ) ( 1 – i )
1 + i + 2i + 2i2 1-i –2i + 2i2 1 + 3i – 2 + 1 – 3i - 2
= ¾¾¾¾¾¾ + ¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾
2 2 2

( 1 – 2 + 1 – 2 ) + ( 3 – 3 )i -2 + 0.i
= ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ = -1 dir.
2 2


Örnek:

1 – i 40
¾¾¾ işleminin sonucunu bulalım.
1 + i


Çözüm:

1 – i ( 1 – i )2 -2i 1 - i 40
¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾ = -i olduğundan ¾¾¾ = ( -i )40 = 1 dir.
1 + i 12 + 12 2 1 + i



F. KARMAŞIK DÜZLEM VE BİR KARMAŞIK SAYININ
GÖRÜNTÜSÜ


1) İki boyutlu analitik düzlemdeki x ekseninin reel eksen y ekseninin imajiner eksen alınmasıyla oluşturulan düzleme karmaşık düzlem denir.

2) Z = a + bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(ab) noktasıdır.

3) Z = a + bi karmaşık sayısının iki boyutlu vektör uzayındaki görüntüsü M = (ab) olmak üzere OM vektörüdür.

Örnek:

Z = 1 + 2i karmaşık sayısını

1) Karmaşık düzlemde
2) Vektör uzayında gösterelim.

Çözüm:

1) imajiner eksen 2)
Z = 1 + 2i
2 Z = 1 + 2i 2 M(12)


0 ree eksen 0
1 1






G. BİR KARMAŞIK SAYININ MUTLAK DEĞERİ ( MODÜLÜ )

Karmaşık düzlemde bir karmaşık sayıya karşılık gelen y

noktanın başlangıç noktasına uzaklığına bu sayının b z = a + bi
z
mutlak değeri ( modülü ) denir ve Z şeklinde gösterilir. x
a


Z = a + bi  Z=  a2 + b2 dir.

Örnek:

Z = 5 + 12i
karmaşık sayısının mutlak değerini bulmak bularak karmaşık düzlemde gösterelim.

Çözüm:
12 Z = 5 + 12i
Z = 5 + 12i  Z

Z =  52 + 122
= 13 tür. 0
5
Örnek:

Z = ( a + 2 ) + 3i
Z = 5 olduğuna göre a nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Çözüm:
____________
Z= 5  ( a + 2 )2 + 32 = 5  ( a + 2 )2 + 32 = 52  ( a + 2 )2 = 16

olduğundan a + 2 = 4 veya a + 2 = -4 tür.

a + 2 = 4  a = 2 veya
a nın alabileceği değerlerin toplamı 2 + (-6) = -4 tür.
a + 2 = -4  a = -6 dır.











H. MUTLAK DEĞERLE İLGİLİ ÖZELLİKLER
_ _ _
1) Z= -Z= Z=-Z=i.Z=-i.Z=...

2) Z1.Z2= Z1.Z2

3) Z1 Z1
¾¾ = ¾¾ ( Z2 ≠ 0)
Z2 Z2

4) Zn = Zn
_
5) Z . Z = Z2

6) Z1 - Z2 < Z1 ± Z2 < Z1 + Z2

Örnek:
3 – 3i
Z = ¾¾¾¾ olduğuna göre Z = ?
1 + i

Çözüm:

3 – 3i sayısının mutlak değeri  32 + 32 = 32 dir.

1 + i sayısının mutlak değeri 12 + 12 = 2 dir. O halde

3 – 3i 32
Z = ¾¾¾ = ¾¾ = 3 tür.
1 + i 2

Örnek:

i2 = -1 olmak üzere

Z1 = 2 + ni

Z2 = 1 + 2i
_______
Z1 + Z2 = 5 olduğuna göre n nin alabileceği değerlerin çarpımı ?

Çözüm:

Z1 + Z2 = (2 + ni) + (1 + 2i) = 3 + (n + 2)i
______
Z1 + Z2 = 3 – (n + 2)i dir.

Z1 + Z2 = 5   32 + (n + 2)2 = 5  32 + (n + 2)2 = 52  (n + 2)2 = 42 olduğundan

n + 2 = 4  n = 2 veya
n + 2 = -4  n = -6 dır. n nin alacağı değerlerin çarpımı 2.(-6) = -12 dir.
Örnek:

i2 = -1 olmak üzere

1 - xi
Z = ¾¾¾¾ olduğuna göre Z10=?
1 + xi
Çözüm:

Z10 = Z10 dur.

1 – xi sayısının eşleniği 1 + xi olduğundan 1 - xi = 1 + xi dir. Buna göre

1 - xi
Z = ¾¾¾ = 1 ve Z10 =110 = 1 dir.
1 + xi


1) Z1 = x1 + y1i ve Z2 = x2 + y2i sayıları arasındaki uzaklık bu sayıların karmaşık düzlemdeki görüntüleri olan noktalar arasındaki uzaklığa eşittir. Yani

Z1 – Z2 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 dir.

2) Z – Z0 = r şartını sağlayan Z karmaşık sayılarının kümesi Z0 sabit noktasına r birim uzaklıktaki noktaların kümesidir. Bu küme merkezi Z0 ve yarıçapı r olan çemberdir.

Örnek:

A = Z : Z – 4 – 3i = 2 Z € C kümesini karmaşık düzlemde gösterelim.

Çözüm:

Z = x + yi olsun y

Z – 4 – 3i = 2 2 (x – 4)2 + (y – 3)2 = 4
3
 x + yi – 4 – 3i= 2

 (x – 4)2 + (y – 3)2 = 2 0 x
4
(x – 4)2 + (y – 3)2 = 22 bulunur.

Yani Z karmaşık sayıları merkezi (43) noktası ve yarı çapı 2 olan çemberi oluşturan noktaların kümesidir.









SORULAR

1) i = -1 olmak üzere

-2 . -8 + 1
¾¾¾¾¾¾¾ işleminin sonucunu bulun.
(-3)2
Çözüm:

-2 . -8 + 1 -1. 2. -1.8 + 1 i. 2.i.22 + 1 4.i2 + 1 -4 + 1
¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾¾ = -1 dir.
(-3)2 -3 3 3 3

2) i = -1 olmak üzere

i37 – 2i-5 + i3 soncunu bulun.

Çözüm:

i37 = (i4)9.i1 = 19.i = i

i-5 = i-5+8 = i3 = -i

i3 = -i olduğundan i37- 2i-5+i3 = i – 2.(-i) – i = 2i


3) i2 = -1 olmak üzere

2x2 – 2x + 2
f(x) = ¾¾¾¾¾¾ olduğuna göre f(i) = ?
x3 + 1

Çözüm:

2x2 – 2x + 2
f(x) = ¾¾¾¾¾¾
x3 + 1

2i2 – 2i + 2 -2 – 2i + 2 -2i ( 1 + i ) -2i ( 1 + i )
f(i) = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = 1 – i dir.
i3 + 1 1 – i ( 1 - i ) ( 1 + i ) 2









4) i2 = -1 olmak üzere
1 1
¾¾ + ¾¾ işleminin sonucunu bulun.
2 – i 2 + i

Çözüm:

1 1 2 + i + 2 - i 4
¾¾ + ¾¾ =.¾¾¾¾¾ = ¾ tir.
2 – i 2 + i 22 + 12 5
( 2 + i ) (2 – i)

5) x < 0 olmak üzere

Z =  -x2 + 2x –1 + -x+ 2x karmaşık sayısının reel kısmı ile sanal kısmının toplamı kaçtır?

Çözüm:

Z =  -x2 + 2x –1 + -x+ 2x

Z =  -1.(x –1)2 - x + 2x (x < 0)

Z = -1 . x - 1 + x

Z = x + (1 – x)i bulunur.

Re(Z) = x ve İm(Z) = 1 – x tir.

Re(Z) + İm(Z) = x + 1 – x = 1


6) i = -1 olmak üzere

Z1 = a + i

Z2 = 2 – i
______
Z1 – Z2 = 2 olduğuna göre a = ?

Çözüm:

Z1 – Z2 = (a + i) – (2 – i) = (a – 2) + 2i
______
Z1 – Z2 = (a – 2) – 2i
______
Z1 – Z2= 2  (a – 2)2 + (-2)2 = 2  (a – 2)2 + (-2)2 = 22  (a – 2) 2 = 0  a = 2






7) i = -1

i + 1
¾¾¾ = 1 – i olduğuna göre Z2003 nedir?
Z

Çözüm:

i + 1 1 + i 2i
¾¾¾ = 1 – i  Z = ¾¾  Z = ¾  Z = i .
Z 1 - i 2
(1 + i)

Z2003 = i2003 = i3 = - i

8) Z = x + yi olmak üzere
_
(i – 1).Z +i.Z = 2 – 3i olduğuna göre Z = ?

Çözüm:
_
(i – 1).Z +i.Z = 2 – 3i  (i – 1)(x - yi) + (x + yi) = 2 – 3i  xi + y – x + yi + xi – y = 2 –3i

 -x + (2x + y)i = 2 – 3i

-x = 2  x = -2 ve 2x + y = -3  -4 + y = -3  y = 1

 Z = -2 + i ve Z = 5

9) i = -1 ve Z = x + yi olmak üzere
_
2.Z Z + Z
¾¾¾¾ = ¾¾¾ olduğuna göre Re(Z) – İm(Z) = ?
Z - Z i

Çözüm:
_
Z = x + yi  Z = x – yi
_ _
Z + Z = 2x ve Z – Z = 2yi

Z2 = (  x2 + y2 )2 = x2 + y2

ve Re(Z) – İm(z) = x – y .

_
2.Z Z + Z 2.Z 2x
¾¾¾¾ = ¾¾¾  ¾¾¾¾ = ¾¾  (x + y)2 = 0  x – y = 0
Z - Z i Z - Z i

10) i = -1 ve Z = x + yi olmak üzere

Z – 3i < Z + 3 olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) y < -x B) y < x C) y > x D) y > -x E) 2y > -x

Çözüm:

Z – 3i < Z + 3

x + yi – 3i < x + yi + 3

x + (y – 3)i < (x + 3) + yi

x2 + (y – 3)2 <  (x + 3)2 + y2

x2 + (y – 3)2 < (x + 3)2 + y2

x2 + y2 – 6y + 9 < x2 + 6x + 9 + y2

-6y < 6x

y > -x



Üye Profil Bilgileri
[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]
Bu ezanlar-ki şahadetleri dinin temeli- Ebedi yurdumun üstünde benim inlemeli
Ey şehid oğlu şehid, isteme benden makber,
Sana ağuşunu açmış duruyor Peygamber…
GROZNIE isimli Üye şimdilik offline konumundadır   Alıntı ile Cevapla
Cevapla

Seçenekler Arama
Stil

Yetkileriniz

Benzer Konular
Konu Konuyu Başlatan Forum Cevaplar Son Mesaj
ÜsLü SayıLar GROZNIE Matematik 0 14 Kasım 2013 15:54
sayılar gözükmüyor MarX League Of Legends 8 05 Kasım 2013 19:54
Ondalık Sayılar OConner Matematik 0 03 Kasım 2013 01:10
Mükemmel sayılar OConner Matematik 0 29 Ekim 2013 21:08
0'dan 14'e Sayılar !! rakosever45 Zeka Soruları & Bilmeceler 0 19 Ekim 2013 23:51

Tüm Zamanlar GMT +3 Olarak Ayarlanmış. Şuanki Zaman: 01:58.

Sistem Bilgileri Bilinmesi Gerekenler
Powered by vBulletin® Version 3.8.4
Copyright ©2000 - 2017, Jelsoft Enterprises Ltd.
Search Engine Optimization by vBSEO 3.6.1
User Alert System provided by Advanced User Tagging v3.1.0 (Lite) - vBulletin Mods & Addons Copyright © 2017 DragonByte Technologies Ltd. Runs best on HiVelocity Hosting.
Lütfen Sorunlarınızı Buradan Bize Bildiriniz.

Sitedeki Tüm Paylaşımların Sorumlulukları Paylaşım Sahiplerine Aittir.
Soru Ve Sorunlarınız İçin Lütfen İletişim Bölümünü Kullanınız
Tema Tasarımı ForumZero.Net - Foxin


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 673 674 675 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688 689 690 691 692 693 694 695 696 697 698 699 700 701 702 703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719 720 721 722 723 724 725 726 727 728 729 730 731 732 733 734 735 736